题解 P1251 【餐巾计划问题】

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$Description$

一个餐厅在相继的$N$天里,每天需用的餐巾数不尽相同。假设第$i$天需要 $r_i$块餐巾$(i=1,2,\cdots ,N)$。餐厅可以购买新的餐巾,每块餐巾的费用为$p$分;或者把旧餐巾送到快洗部,洗一块需$m$天,其费用为$f$分;或者送到慢洗部,洗一块需$n$天$(n>m)$,其费用为$s$分$(s<f)$。

每天结束时,餐厅必须决定将多少块脏的餐巾送到快洗部,多少块餐巾送到慢洗部,以及多少块保存起来延期送洗。但是每天洗好的餐巾和购买的新餐巾数之和,要满足当天的需求量。

试设计一个算法为餐厅合理地安排好$N$天中餐巾使用计划,使总的花费最小。编程找出一个最佳餐巾使用计划。

$Solution$

考虑费用流

其中$x \xrightarrow{a, b} y$代表从$u$向$v$连接一条流量为$x$，费用为$y$的有向边。

首先，我们将每天进行拆点，将一天拆成早上$a_1$和晚上$a_2$，每天晚上会收到脏餐巾（来源：当天早上用完的餐巾，在这道题中可理解为从源点$s$获得），每天早上又会受到干净的餐巾（来源：购买、快洗店、慢洗店）。

从源点$s$向每一天晚上连一条流量为当天所用餐巾$r_i$，费用为$0$的边，表示每天晚上$a_2$从源点$s$获得条脏餐巾。(由于我们把脏毛巾和干净毛巾看作不同的东西，所以不能从$a_1$转移过来),即$S \xrightarrow{r_i, 0} a_2$

每天早上要使用$r_i$块干净餐巾。所以连接$a_1 \xrightarrow{r_i, 0} T$

每天早上可以买任意多块餐巾。所以连接$S \xrightarrow{+\infty, p}$

快洗部用$m$天将任意多块餐巾洗干净。所以连接$i \xrightarrow{+\infty, f} (i + m)$

慢洗部用$n$天将任意多块餐巾洗干净。所以连接$i \xrightarrow{+\infty, s} (i + n)$。

$Code$

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#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
#define re register
#define inf 0x3f3f3f3f3f3f3f
#define NN 20000
using namespace std;
struct edge{
    int dis,w,to,next;
}e[1000067];
inline int read(){
    int x=0,w=0;char ch=getchar();
    while (!isdigit(ch))w|=ch=='-',ch=getchar();
    while (isdigit(ch))x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0',ch=getchar();
    return w?-x:x;
}
int cnt=1,cur[NN],head[NN],dis[NN],vis[NN],inque[NN],cost,n,m,s,t,w[NN];
inline void add(int u,int v,int d,int w){
    e[++cnt].to=v;
    e[cnt].next=head[u];
    e[cnt].dis=d;
    e[cnt].w=w;
    head[u]=cnt;
    e[++cnt].to=u;
    e[cnt].next=head[v];
    e[cnt].dis=0;
    e[cnt].w=-w;
    head[v]=cnt;
}
bool spfa(){
    memset(dis,0x3f,sizeof(dis));
    queue<int>q;q.push(s);
    dis[s]=0;
    while (!q.empty()){
        int u=q.front();q.pop();inque[u]=0;
        for (int i=head[u];i;i=e[i].next){
            int v=e[i].to;
            if (e[i].dis&&dis[v]>dis[u]+e[i].w){
                dis[v]=dis[u]+e[i].w;
                if (!inque[v])
                    q.push(v),inque[v]=1;
            }
        }
    }
    return dis[t]<inf;
}
int dfs(int u,int mn){
    vis[u]=1;
    if (u==t)return mn;
    int used=0,mi;
    for (int &i=cur[u];i;i=e[i].next){
        int v=e[i].to;
        if ((!vis[v]||v==t)&&e[i].dis&&dis[v]==dis[u]+e[i].w)
            if (mi=dfs(v,min(e[i].dis,mn-used))){
                e[i].dis-=mi;
                e[i^1].dis+=mi;
                used+=mi;
                cost+=mi*e[i].w;
                if (mn==used)break;
            }
    }
    return used;
}
int Dinic(){
    int res=0;
    while (spfa()){
        vis[t]=1;
        while (vis[t]){
            memset(vis,0,sizeof(vis));
            for (int i=s;i<=t;++i)cur[i]=head[i];
            res+=dfs(s,inf);
        }
    }
    return res;
}
signed main(){
//     freopen("kkk.cpp","r",stdin);
    int n=read();s=0,t=n+n+1;
    for (int i=1;i<=n;++i)w[i]=read();
    int P=read(),M=read(),F=read(),N=read(),S=read();
    for (int i=1;i<=n;++i){
        add(s,i+n,w[i],0);//每天晚上得到早上用剩的w[i]块脏餐巾
         add(i,t,w[i],0);//每天早上需要w[i]块干净餐巾
        if (i+M<=n)add(i+n,i+M,inf,F);//第i天晚上送快洗部，第i+M天早上拿到干净餐巾 
        if (i+N<=n)add(i+n,i+N,inf,S);//第i天晚上送慢洗部，第i+N天早上拿到干净餐巾 
        if (i!=n)add(i+n,i+1+n,inf,0);//保存到下一天 
        add(s,i,inf,P);//购买新餐巾
    }
    Dinic();
    printf("%lld\n",cost);
    return 0;
}